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2014第27期:费马大定理 观后感 (一万七千字的呕心沥血之作)

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发表于 2014-8-24 16:37 | 显示全部楼层 |阅读模式
罗辑思维第27期节目 大吐槽
作者:罗辑


前言:本文将对 罗辑思维2014第27期《费马大定理》进行一次完全解读并延伸,之所以迟迟没有上线,是在等文字版出炉,这样,评论起来更有针对性。在评论这期节目之前,我一直告诫自己,人家是一个四十多岁的文科胖子,敢于挑战数学已属不易,要多褒少贬,实在要贬,下手也不要太狠。然而,当我看到很多“爱智求真”的罗友在评论这期节目时,仍像“脑残粉”一样恭维罗胖,我实在无法再沉默啦。这期节目恰好构成了罗辑思维最值得批判的靶子,如果要批判的话,我可以火力全开!只是,我仍在纠结:从关注罗辑思维的那一天起,我就想着有一天能够给罗胖打工,如果这次下手过重,以后还要不要在一起愉快地玩耍啦?不过,考虑到罗胖现在越来越火,是得有人给他浇盆凉水降降温啦,那就只好得罪啦。

总评:在这期节目中,那个纵横捭阖、旁征博引、游刃有余的胖子不见了,除了苍白的幽默感,基本上没有干货。看罢,唯能长叹:画面太low,不忍直视!

接下来我们具体分析一下:罗胖到底做了什么?还有哪些改进空间?

罗胖先是拿出了勾股定理的表达式,告诉大家本期节目只用到这一个公式,这颇有霍金写《时间简史》只用了质能方程的气魄。不过,数学比物理更抽象,物理知识在深刻理解的基础上去繁归简,是可以形象化的,而数学,本身就是一门语言,有自己的符号系统、逻辑系统、表达方式,想“翻译”成通俗语言是很困难的。罗胖拿着勾股定理试图解读费马大定理的举动相当于学了几个英文单词就要给大家讲莎士比亚原著。当然,不懂数学也不是完全没法讲,可以多讲故事,少谈技术细节,而从故事角度切入,要求罗胖熟悉数学史。甚至,不熟悉也没关系,罗胖作为一名强悍的文科生,本身就有很强的历史功底,穿越到数学史,理论上讲,表现也不会太差。然而,罗胖的表现却是:知识匮乏、理解不足,思路难以展开。

讲费马大定理,从勾股定理开始讲起是没有错的,毕竟,费马就是在看到勾股定理时产生的灵感。而且,由勾股定理,可以引入两样东西,一个叫证明,一个叫数论。如果要解释数学证明是什么、如何由公理出发证明定理、讨论不同定理之间的关系从而避免循环论证,拿勾股定理举例是最适合不过的了。勾股定理的证明方法据说有三百多种,随便挑出几种一讲,罗胖的逼格马上上去了。可惜,讲解证明,罗胖终究不敢挑战,因而,错过了一次秀智商的机会。

如果说把怀尔斯证明费马大定理的论文拿过来解读,会吓跑绝大部分观众,那么,证明勾股定理绝对不会有这种风险。前面提到,数学这门语言比较艰深,那指的是高等数学(初等数学在高等数学面前是小儿科中的小儿科,曾经困扰无数大学生的微积分、线性代数、概率论在高等数学的世界里只是基础到不能再基础的知识,费马大定理在高等数学的世界里也算得上高级问题),对于初等数学,里面有太多可以“秒杀”的知识,这对秀智商和培养兴趣都很有帮助。

如何把初等数学的问题形象化?数形结合是一种非常有效的手段。比如要证明勾股定理,都不用列式,画两个图,标一下颜色,一对照,就出来啦:
四个同种颜色的三角形一消,左边两个小正方形的面积和不就等于右边中间那个稍大的正方形的面积吗?数学,就是这么简单。

既然谈到数形结合这种证明方法,《费马大定理》这本书上不也有个例子吗?就是那个棋盘问题:8×8的国际象棋棋盘上,如果将对角线上的两个方格切掉,剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗?


答案是不能的。每张骨牌在棋盘上必覆盖住两个相邻方格,一白一黑,所以31张骨牌应该盖住31黑和31白。而这被切了角的棋盘上32白30黑,因此不能。

如果你觉得这就完事了,那就太看不起玩数学的人了。正如由勾股定理,他们联想到费马大定理一样,这个棋盘问题,他们也会进一步发问:假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格,那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住?

我可以告诉你:这是一定能做到的,而且,我已经有了一个巧妙的证明(这个是真的)。我暂时不说,留给大家思考,罗胖如果这么讲的话,是不是逼格再次提高?

接下来再谈谈证明的意义,罗胖还是不了解数学的世界,所以,他对证明的意义,认识是很肤浅的,或者叫“太low”。中国人自称世界最聪明的民族,为什么没能爆发科技革命?要知道,西方人在愚昧落后的中世纪浑浑噩噩地过了一千多年,中国人沿着统一帝国的道路发展,按理说早该把西方人甩了十万八千里,可是,西方人很快觉醒、迎头赶上并远远超过了中国人,凭什么?追本溯源,那是希腊文明打下的根基。中国人历史上也有很多科学成果,但始终无法建立整个数理系统,或者说,根本没有这种意识。而希腊文明研究数学,很早就引入了证明的概念,从而为数理系统的建立奠定了基础。

我常说,整个数学大厦的构建是从引入证明开始的。证明有两大作用:1、一个结论一旦被严格证明,就可以永久放心使用了,避免重复性劳动,这些结论构成了数学大厦的根基;2、证明过程中可能创造出新的证明思想或方法,而这些证明思想或方法可以大范围推广,运用到别的领域,成为构建数学大厦的有力工具。罗胖不也常说,一样东西必须可以积累才好,西方人未必聪明,但他们擅长把聪明才智不断积累,证明就是完成数学积累的手段之一,这就是西方人那群“死心眼”的真正高明之处。

由于要讲费马大定理,前面提到的数形结合思想不好使了,我们必须再引入两种有效证明手段,一个叫反证法,一个叫数学归纳法。

反证法思路很简单,就是先假设结论不成立,推导出逻辑上的荒谬,从而间接证明结论的正确。如果有人不放心,觉得这样不一定靠谱,请自行脑补简单的数理逻辑中关于逆否命题的内容。反证法是数学家最常用的有力武器之一,下过围棋的都知道,弃子是一项重要的基本战术,小牺牲换取大利益,相比之下,反证法可牛逼多了,为了得到结论,不惜牺牲全盘,这就叫“霸气”。反证法在费马大定理的证明中很有用,一来,费马的无穷递降法就是反证法的一种,二来,弗莱说明谷山-志村猜想包含费马大定理时也用到了反证法的推理思路。

接下来再说说数学归纳法,这里又要批评罗胖了,罗胖在讲到群论时,虽然谦虚地表示自己不懂,但自称勉强听明白了一点,就是群论思想类似于多米诺骨牌效应,可惜的是,就连这一点也是错的,群论和多米诺骨牌没有关系。那如果罗胖非要说,我对群论太感兴趣了,我一定要把它和日常生活中一个常见的玩具联系在一起,这也很简单,拿出一个魔方就OK啦!罗胖如果愿意的话,讲一期《群论与魔方》,绝对比讲《费马大定理》有意思。罗胖这时肯定不服,我明明记得书上谈到群论时标题就是“推倒第一块多米诺骨牌”,凭什么它俩没关系?好吧,这个多米诺骨牌是来描述数学归纳法的。就让我们来描述一下吧:1、第一块骨牌倒下;2、任意两块相邻骨牌,只要前一块倒下,后一块必定倒下。这样,无论有多少骨牌,只要保证1、2成立,就会全都倒下。大家看懂了吧,这个数学归纳法,可以很方便地处理整数无穷问题嘛。费马大定理正好符合这个条件,整数+无穷,所以,当初,欧拉试图从n=3,n=4着手证明费马大定理,肯定想过要用数学归纳法,可惜的是,不同的数,证明方法差别过大,实在没法递推下去。怀尔斯就幸运多了,他没有在原式的n上下功夫,从n推导n+1,而是搞了一个大迂回。不是说,证明费马大定理可以从椭圆曲线和模形式着手吗?OK,把椭圆曲线拉出来,把能反映它本质的数据提取出来,称为E-序列,再把模形式的本质数据提取出来,称为M-序列,证明这俩序列一一匹配。当然,这个也不容易,第一步就把怀尔斯难住了,第一块骨牌推不倒啊。这时候,伽罗华表示就派上用场了,谷山-志村猜想之所以那么难,就是因为找不到椭圆曲线和模形式之间的联系,而伽罗华表示,可以成为二者连接的桥梁。伽罗华出马,第一块骨牌顺利倒下,接下来就是如何诱发整个多米诺骨牌效应了。这就用到了岩泽理论和科利瓦金-弗莱切方法(关于怀尔斯在这俩方法中绕来绕去的事,太长,不赘述),这俩方法,追本溯源,还是人家伽罗华思想的推广。所以,伽罗华必然是牛逼的。不过,群论在这个问题中,是用来推倒骨牌的工具,可它本身和骨牌可没什么关系,就像你不可能用牛的特征去描述一把宰牛刀一样。不懂群论没关系,知道多米诺骨牌不能用来描述群论而是用来描述数学归纳法的就足够了。(其实,这段没必要这么长,关于群论的知识可以放在后面讲,这是为了纠正罗胖的错误才把二者放一起比较。)

解释了什么叫证明、证明的意义并介绍了两大证明方法之后,罗胖是不是要再悠悠地来一句:顺便说一下,第一个引进证明的数学家叫泰勒斯,这一期就是人名多。至于泰勒斯的故事,我看就不用讲了,毕竟和费马大定理关系不大,知道是个牛人就行了,而且,在这一期,牛人打酱油很正常。

说完证明,是不是得讲讲数论。罗胖要讲费马大定理,为什么不提一下数论呢?费马大定理是一个数论问题,不提数论就白讲了。而且,数论方面的知识应该是重点。

由于我们是从勾股定理切入的,我们得先谈一下勾股定理和数论的关系。勾股定理是一个几何问题,它是怎么和数论扯上的呢?首先,勾股定理中涉及到三个数吧,我们把它们称为勾股数,三个放一起叫“勾股数三元组”。在所有的数中,我们最喜欢的莫过于整数啦,人们不禁要问:整数勾股数三元组有多少组?怎么把它们找出来?

答案是无穷多组,而且,很容易找。通过推导和证明,我们可以得到最简通解:x= m^2-n^2,y=2mn,z= m^2+n^2;这里m>n>0,m、n为互质整数。顺便说下,啥叫最简?比如,3、4、5和6、8、10都是勾股数,后者明显是由前者的倍数,那么,3、4、5就是最简的,找最简,在数学上非常有意义,要不然,一组3、4、5就可以搞出无穷,就没意思啦。至于具体的证法,为了避免吓跑读者,就不讲了,有兴趣可以私下讨论哈。

现在的关键问题是:这个三元组有什么用?如果和证明费马大定理没关系,干嘛要讲?你还别说,真有关系。因为证明n=4用得上。这里又要指出罗胖的一个误解,n=4的证明权虽然归入费马名下,但是,费马只是间接地证明了n=4,费马证明的真正结论是: 边长为整数的直角三角形的面积不是一个完全平方数。不过,通过这个结论,我们可以推导出前者,而且,这个结论比n=4范围还要大一点,就是说包含了n=4。这里用到了费马自己发明的无穷递降法。具体不详述。

证明了n=4,证一下n=3吧,不好意思,这个很难,这里面用到了虚数。虚数是个好东西,关于虚数的故事,八期节目也讲不完,这个后面再展开,我们还是继续探讨数论吧。

这里还要插入一段,数学必须严谨,罗胖在讲费马大定理时,不能一会儿说成数、一会儿说成整数、一会儿说成正整数,必须统一一下。费马大定理严格地讲是在非零整数范围内讨论,即x,y,z属于整数 且xyz≠0。以后所有出现的x,y,z一律符合这个条件。

费马算是证明了n=4这种最简单的情形,欧拉通过引入虚数证明n=3,高斯又跑过来给出了n=3更严谨的证明。后来,还有人证明了n=5,n=7。有人要问了,n=6要不要证明?当然不用。这里涉及到数论最基本的概念,数论里面最重要的元素叫素数,也就是质数,听听这名字就知道,素数是基础和本质,很多关于素数的结论一证明,合数就不用管了。以费马大定理为例,你证明了n=3,对于n=3p都不用证明了,因为x^3+y^3=z^3不成立,(x^p)^3+(y^p)^3=(z^p)^3肯定不成立嘛,合数中只有n=4需要证明一下,因为n=2是成立的。

罗胖在节目中提到了热尔曼,大加赞赏,热尔曼提出了攻克一批质数的思路,不过,她对费马大定理的贡献,也只是一个过渡人物而已。在这个阶段,真正的牛人叫库默尔。在库默尔出场前,还要有两个超级牛人跑出来打打酱油,这两个人,一个是拉梅,一个是柯西。这两个人的故事,罗胖如果愿意讲,也是好题材,考虑到是酱油党,我就不讲了,直接讲库默尔。库默尔找到了这俩人证明的漏洞,当然,也是自己碰过的暗礁——引入虚数后,唯一分解定理不再成立。啥叫唯一分解定理?一个大于1的整数,是不是可以写成几个质数乘积的形式?OK,这种形式是唯一的,这个很好理解嘛。顺便说下,这个既然叫定理,必然可以证明,第一个证明是欧几里得给出的,这种大牛人,后面得拿出来聊聊。回过头来,再说库默尔,他如果仅仅指出唯一分解定理不再普遍成立,还算不上大牛,而是人家找到了什么时候仍然成立,并把这种特殊的数称为“理想数”。利用理想数理论,库默尔成功攻克了一大批素数,虽然没能完全证明费马大定理,但这已经是当时的最高成就了。更重要的是,理想数理论价值极大,超出了费马大定理本身。后来,理想数理论被推广,不仅推动了代数数论的发展,还走出数论,深入到代数与函数论。这才叫真正的牛逼。不过,库默尔指出拉梅和柯西失败原因的论文还是有个小小的漏洞,而这个漏洞,却挽救了一个人的生命,这人为了感谢费马大定理,还设置奖金奖励能够证明费马大定理的人,这件事使费马大定理名声大噪,并促使一群“民科”为之奋斗(虽然无一例外失败),这就叫传奇。

费马大定理关于数论的故事,到此可以告一段落,我们来总结一下吧:

1、谈谈唯一分解定理给我们的启示:唯一分解定理在初等数论中被称为“算术基本定理”,可见其地位和作用。而一旦进入代数数论,便不再成立。恰如牛顿经典力学在相对论和量子力学面前遇到的尴尬一样,当进入新的领域,旧的世界观中的基石也可能被动摇。
2、总结一下这个阶段证明费马大定理的统一思路:无论方法多巧妙,始终没有逃脱“因式分解”的范畴。“因式分解”也许是证明费马大定理最正统的路线,却无法达到目的,费马大定理的证明,要求我们必须走出数论,深入到别的数学分支进行跨界融合。

接下来就是跨界融合三部曲:

第一部:哥德尔不完全性定理。这个话题在这里就不展开讲了,这里面牵涉到第三次数学危机,其中错综复杂而又生动有趣的历史,三天三夜也说不完。这里就说一下它和费马大定理有什么关系?根据第一不完备性定理,任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统,都存在一个命题,它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。是不是很啰嗦?其实就一句话:有些命题是不可判定的。人们就想了,说不定费马大定理就是不可判定的。更神奇的是,不可判定恰恰说明它是真的,因为,如果是假的,就能找到一个反例,就可判定,不可判定说明找不到反例,找不到反例,就是真的。换句话说,费马大定理是真的,但是,用你那一套数学方法是无论如何也写不出证明过程的,这让数学家非常抓狂。当然,费马大定理不可判定本身也是猜的,万一可以判定呢?所以,还是有人走在寻找证明方法的路上……

第二部:来自微分几何的助攻。前面谈到,数形结合是一种很有用很牛逼的思想。不过,那种画个图形涂涂颜色辅助证明只是最初级的手段,高中时学的解析几何要稍微强一点,微分几何就比较高级了。反正费马大定理是一个高级问题,用这种高级领域的方法解决总是没有错的。需要注意的是,用微分几何方法解决数论问题,这种思想是郎兰兹纲领的一部分,而郎兰兹纲领,说白了就是要搞跨界混搭,是不是蛮有互联网思维的?这里面还要谈到两个人,一个是法尔廷斯,他用微分几何方法证明了数论中的莫德尔猜想。另一个是宫冈洋一,他试图更进一步,证明费马大定理,不过,由于对数论领域不够熟悉,证明存在缺陷且无法弥补。

第三部:怀尔斯的证明。怀尔斯的工具比其他人还要多一点。首先是自己的最擅长的领域——椭圆曲线。啥叫椭圆曲线?椭圆曲线和椭圆可不是一回事儿,学过高中数学的都知道,椭圆是圆锥曲线。那椭圆曲线这个名词是怎么来的?椭圆曲线可以被椭圆函数参数化,椭圆函数来自椭圆积分,而椭圆积分源于计算椭圆周长,就是这样七拐八拐的“亲戚”关系。椭圆曲线属于代数几何领域。下一个东西是模形式,模形式属于复变函数领域。前面也说了,联系二者的工具来自于伽罗华的思想,也就是群论。接下来,怀尔斯就开始各种糅合,直至成功。当然,怀尔斯中间也出了漏洞,幸运的是,别人一碰到漏洞就完了,怀尔斯却成功地填补了漏洞,还简化了证明过程。

好了,费马大定理终于搞定了,这不仅仅是一道难题的解决,更是数学史上的一次穿越混搭跨界融合的典型案例。在不同的数学分支之间架起桥梁,是一件非常美妙的事情,这也正符合我们一直提倡的“连接”思想。

说到这儿,很多人可能要说了,罗胖又不懂数学,你让人这么讲不是欺负人吗?说句实话,这已经是技术含量最低的讲法了,如果连这种标准都达不到,那就是没入门。不入门非要讲怎么办?前面也说了,你讲数学史啊。罗胖讲的不就是数学史吗?不,罗胖的讲法除了苍白的幽默感,既不精彩,也不丰富。前面部分技术性内容可能对个别读者来讲是枯燥的,但是,这些内容完全可以穿插到故事中,这样,故事性和技术含量都兼备啦。而这,正是西蒙辛格的书广受欢迎的原因,他不仅擅长讲故事,还擅长把比较高深的知识用生动形象易于理解的语言表述出来并穿插其中。

接下来,我们看一下,数学史该怎么讲?罗胖讲数学史,是以人物为中心展开的。但是,我觉得,既然是数学史,就应该以数为中心,至于数学家,只是碰巧发现了数学世界的一点规律而已。牛人呢,多出场几次就行了,不够牛的,就只好打酱油了,想要个人特写,很难。

既然我们一直都是从勾股定理切入,这次仍不例外,我们用勾股定理搞出来一个数加以研究,这个数就是边长为1的直角三角形的斜边长度。多少呢?根号2。

我们就从根号2出发,看是“数”这个家族是如何一步一步发展壮大的?

不过,上来就讲根号2,还是不合适,我们从整数讲起吧:

最开始人们发现的数是正整数,有了正整数,就开始运算。算着算着就出问题了,俩正整数相乘是正整数,相除可就不一定是整数了。于是,分数被很自然地发明出来。这里有人要问了,负数和零哪儿去了?这个说起来很有意思,零直到公元5世纪时才被发明出来,发明者是印度人。负数呢?功劳要算在中国人头上。有人要说了,发明负数很容易啊,小数减大数就行了。这个又要提到西方人的“死心眼”了,他们甚至到了17世纪还在纠结负数存在的合理性,老觉得负数是荒谬的,印度人比他们强一些,公元7世纪时就把负数搞明白了,可是,这些在中国人眼里都不是事儿,中国人讲究实用性啊,好用我就用,三国时期就用得很好了。然而,这未必不值得骄傲。中国人发明的好东西多了去了,就是因为太聪明,不“死心眼”,所以,整不出一套系统,导致始终无法量变积累达到质变从而实现技术爆发。

好啦,回过头来说分数,小学时大家都知道,分数可以化成整数(分子是分母的整数倍)或小数,在分数化成小数时,会发现一个规律:要么能除尽,化成有限小数,如果除不尽,肯定是循环小数。在小数的世界里,排除掉有限小数和无限循环小数,是不是还剩一批数?那就是无限不循环小数。第一个被发现的无限不循环小数就是根号2啦。

这里又要批评罗胖了,罗胖说“原来根号2是一个没头没尾的数,是1.414等等等等等,没头没尾,没完没了”,说了这么多,还是不严谨。根号2真正的问题不仅仅是因为它无限,而是它竟然还不循环。可是,无限不循环这种说法严谨但不实用,我不可能把根号2永远算下去,更何况,当时,古代人手里连个计算器都没有,估计得徒手开平方根了。说到徒手开平方根,罗胖要是能给大家讲讲如何徒手开平方根,虽然没人会真的使用这种方法,但装逼效果无疑是极好的。那如何说明根号2是一个怪物呢?前面提到,分数只能化成整数、有限小数、循环小数这三种形式,而无限不循环小数永远不能化成分数形式。好了,证明根号2永远不能化成分数即可。这里又要用到反证法了,我们先假设√2=a/b(a,b都是正整数不用说了吧)。现在,我们平方一次,a^2/b^2=2,于是,a^2=2*(b^2),这样一看,a^2就是偶数了,那么,a必然也是偶数。那就设a=2m吧,(2m)^2=2*(b^2),4*(m^2)=2*(b^2),b^2=2*(m^2),再一看,b也成偶数了,好吧,设为2n。现在问题来了,根号2不仅可以化成a/b,还可以化成m/n,而且,后者更简洁。按照同样的方法,可以一直化简下去,而分数必然存在最简形式,不可能无限化简,于是得出矛盾。所以,根号2永远不能化成分数。好啦,无理数由此诞生(无理数这个名字是相对于有理数而言的。有理数包括整数和分数,课本原话,这个没人忘吧)。

于是,人们又开始思考如何生成无理数,虽然根号2是在研究几何问题时发现的,但是,要想搞清楚无理数的本质,还得深入到代数领域研究。最开始肯定想着开方,有些有理数开方之后还是有理数,其余的就是无理数啦(顺便说下,可不仅仅是开平方,开n次方都行)。但是,1+√2这种数怎么办?它的几次方也不可能是有理数。这种数我们也不怕,我们继续研究代数,方程是代数中的基本问题,1+√2这种数虽然不能由有理数开方直接得到,但可以是系数是有理数的方程的根。借助方程,我们终于可以用熟悉的有理数来定义无理数啦,我们给这些系数是有理数的方程的根起了一个名字,叫代数数(需要指出的是,代数数是一个很大的概念,它包含了全部有理数、部分无理数、还有一部分复数)。但是,不要高兴得太早,魔鬼马上出现,而且,出现得还不止一个。

其中一个魔鬼叫超越数。1844年,法国数学家刘维尔(这个刘维尔不是别人,正是那个书中写的在法国科学院宣读库默尔信的人,数学圈子就是这么小)首先证明了超越数的存在,刘维尔写出了一个无限不循环小数,也就是一个无理数,然后证明了这个数不可能满足任何系数是有理数的方程。1873年,法国数学家埃尔米特证明了自然常数e的超越性,1882年,德国数学家林德曼证明了圆周率π也是一个超越数。π是超越数的证明又瞬间解决了古希腊三大几何问题中的一道——化圆为方问题,另外两道是什么?倍立方积和三等分角。谁解决的?法国数学家汪策尔。汪策尔这个人不熟悉啊,不熟悉没关系,他所用方法的思想来源大家一定不陌生,正是伽罗华理论。而且,大家是不是还发现了另外一个问题,怎么今天讲的这些人这么多都是法国人?费马是法国人,伽罗华也是法国人。考虑到,法国人比较浪漫,艺术修养比较高,我们可以认为,数学是一门艺术。好啦,回过头来再说说超越数,我们已经可以证明,超越数作为无理数,比代数数无理数多得多。证明方法就不说了,要不然又要聊到集合论和它的创始人康托尔,聊到无穷这个更恐怖的魔鬼。虽然我们知道超越数非常多,但真给你一个数,让你证明它是超越数,却是非常困难的,所以说,这个魔鬼是很难把握的。

不管怎么说,我们算是搞明白了超越数,也就搞明白了无理数,从而把数系扩充为实数。有理数对应无理数,数系如果要进一步扩充,下一步就是实数对应的数啦。什么数?虚数呗。好啦,接下来就讲讲“虚数”这个魔鬼。

虚数就是其平方是负数的数,说起来很讽刺,在虚数刚刚诞生的年代里,负数本身的地位还没有得到西方人的普遍承认。换句话说,虚数相当于负数的儿子,这个儿子生出来的时候,虚数的妈妈负数还没有争取到正式的名分。虚数的出现与方程也有关系。一元高次方程求解也是一道千年难题,关于这个故事,也能讲很多很多,本文尽量简略,先列举几个名字:塔塔利亚、卡尔达诺、费拉里、阿贝尔、伽罗华。为啥又出现伽罗华啦?很简单,群论思想重要啊,不过,这一次,我们终于找到源头了,伽罗华就是在研究五次及以上的一元高次方程的问题中发明的群论思想。事实上,在他之前,阿贝尔(这也是个英年早逝的悲剧天才,这里就不讲了)已经证明了五次及以上的一元高次方程不存在普遍适用的求根公式。但是,伽罗华更进一步,利用群论思想,直接搞清楚了什么时候存在、什么时候不存在(虽然没有普遍适用的求根公式,但是,在特殊情况下却是有可能的,关键是找到特殊情况具备的特征),从而彻底解决了根式求解一元高次方程的问题。一想起这两个天才,我就想批评另外两个人,这两个人也是数学史上举足轻重的大人物,一个是前文提到过的柯西,两个天才的论文都让他给弄丢了,另一个就是高斯,论文寄给他过,骄傲的高斯竟然连看都不看。同时,赞扬一下刘维尔(就是前文提到的证明超越数的那位),不是他,伽罗华的思想也许就永无出头之日了。回过头来说说塔塔利亚和卡尔达诺,虚数首次出现,是一元三次方程求根公式造成的,塔塔利亚发明了这一公式,卡尔达诺发表了这一公式(注意:是发表),于是,这二人之间就有了一笔烂账,后来,一元四次方程求根公式的发明人费拉里也搀和进来了,这段故事就不讲了。接下来,说下一个与虚数有关的人,这个人是笛卡尔,笛卡尔于17世纪创立了“虚数”这个名词,当然,笛卡尔作为一个超级牛人,贡献大了去了,别的不说,就凭“解析几何之父”这个称号,读过高中的人,谁人不知,谁人不晓?后来,与虚数有关的人就多了:莱布尼茨、朗贝尔、棣莫弗、欧拉、韦塞尔、高斯。欧拉开始使用符号i表示虚数,并在许多地方使用了虚数,比如,前面提到,欧拉借助虚数证明了费马大定理n=3的情形。韦塞尔的贡献在于探索了虚数的几何意义。啥叫几何意义?我一直提数形结合这个概念,前面我们已经得到了实数系,于是,我们可以画一条直线,叫数轴,然后,数轴上的点就可以和实数一一对应啦。可问题来了,没有虚数的位置啊。这有何难?过零点再画一条垂直的直线就行了,上面不全是虚数(除了零)吗?而且,这样一来,整个数系也进一步扩大,之前是一条直线,现在成了一个面,这个面我们起个名字,叫复平面,新的数系就叫复数系,复数的意思就是实数和虚数的复合,之所以叫复合,是因为二者本质不同,但为了某种需要,不得不揉捏到一起。当然了,这个韦塞尔不够有名,想法再好也没人搭理,这就需要高斯出手了,高斯出马一个顶俩,很快一系列关于复数的成熟理论就搞出来了。

至此,数系完成了它的扩充!这里又要有人说啦,继续扩充啊,不是还有四元数、八元数、十六元数吗?可是,这些数的出现不叫扩充,因为已经发生了质变,比如说,四元数的乘法不符合交换律,这是动摇基本定律的事情,数系家族就不能再和它们一起玩耍了,它们自成体系。

这里我还想再谈一个问题,我们辛辛苦苦搞出来的虚数有什么用?

多年来,数学上长期骚扰我们的东西,一个叫方程,还有一个叫函数。函数可以说是初等数学中最抽象的东西了,当然,也可以认为是内涵最丰富的东西。现在我们有了虚数这个工具,由此搞出了复数这个概念,把每个单独的数变成了a+bi这种样子。然后,我们就可以研究复变函数啦。复变函数就是以复数作为自变量和因变量的函数。之前研究函数,我们总是喜欢把函数图像画出来,数形结合,有助于理解。可是,复变函数的图像却是画不出来的,甚至很难想象出来。原因很简单,复平面是二维的,这样一来,自变量有两个维度,因变量有两个维度,复变函数就成了四维的。生活在三维世界的人怎么画出四维的图像呢?所幸的是,四维空间虽然没见过,却是可以研究的,我们就不研究啦。知道一件事就行了,谷山-志村猜想中提到的模形式就是这么一个四维的东西。难怪我们就知道这是一个超级对称的东西,却始终找不到一个形象的东西加以描述。

既然提到了虚数,我们再讲一个比较高端的东西,相对论。虚数和相对论有什么关系?狭义相对论比较low,就不讲了,说说广义相对论中的四维时空吧。大家都认为爱因斯坦超级牛,其实在那些超一流数学家面前,他的数学还是比较烂的。有一句话是这样讲的:哥廷根大学的马路上玩耍的孩子,都比爱因斯坦更懂四维几何。哥廷根大学,曾经的世界数学家的摇篮和圣地,哥廷根数学学派,开创和发展20世纪数学的核心力量,该学派因希特勒上台而受到致命打击。回过头来继续说四维时空。空间是三维的,用相互垂直的x、y、z表示,时间是一个独立的维度,它和空间肯定是不同的。用什么来表示这种差异又不影响时空之间相互转化呢?办法是,用虚数来表示时间,用虚数轴表示时间轴。当然,建个四维的坐标轴实在不值一提,要想搞出广义相对论,需要一套完整的数学工具,这个工具就是黎曼几何。黎曼,又是一个超级大牛,数学家+物理学家,研究的都是高端问题,到底有多牛,看看有多少东西以他的名字命名就知道了:黎曼ζ函数,黎曼积分,黎曼引理,黎曼流形,黎曼映照定理,黎曼-希尔伯特问题,黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面。他的老师也很牛,就是高斯,所以,他年纪轻轻就搞出黎曼几何也就在情理之中啦。如何用黎曼几何创立引力理论,这个太高端了,讲不了,相对论就到此为止,咱还是继续聊黎曼吧。黎曼也有一个猜想,是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想,这个猜想,比费马大定理更高端也更重要,至今尚未解决。

由根号2切入,一口气回顾了整个数系的发展史,中间穿插了大量的人物,然后,我们还聊到了相对论,最后以黎曼猜想结束,不知道这算不算旁征博引?我认为,这是数学史的一种讲法,数学这个圈子其实不大,你从任意一个角度切入,都能随手拉出一连串东西,越扯越远,直到和最初的切入点没有一点关系。你如果觉得思维太发散了,其实不然,数学的世界就是这么玩的,它有着无穷无尽的伸缩性,也考验着疯狂的想象力。拿个魔方可以讲群论,揪片树叶就能讲分形,就初高中数学那点小儿科,吃着零食唱着歌,都能玩得炉火纯青。当然,从根号2切入,还可以讲关于三次数学危机的知识,讲讲集合论、分析一下无穷、玩玩悖论,再与前面提到的哥德尔不完备定理联系起来,最后研究一下公理系统,那也是很美妙的,只是貌似和费马大定理的关系更远了。

罗胖可能要说了,你这样讲不好,虽然很有意思,但和费马大定理没关系啊,我们还是讲与费马大定理相关的人物吧。

但是,我觉得,罗胖的人物讲得也不够好,最大的问题是:太八卦。与费马大定理有关的数学家,一个个牛逼至极,关于他们的数学故事都讲不完,哪有时间八卦?

第一个出场的是毕达哥拉斯,罗胖说人家是一个邪教头子。其实,毕达哥拉斯学派是一个典型的精英社团,人家就是智商高,不愿意和普通人一起玩耍而已,也没什么大的罪过,反而在数学和美学方面有很大贡献。这些贡献就不列举了,因为和证明费马大定理没关系。当然,他们也犯错了,就是杀死了发现根号2的希帕索斯。不过,能够诱发第一次数学危机,希帕索斯也算为真理献身啦。

考虑到希腊文明的数学挺牛的,而这个毕达哥拉斯还不够牛,只是名气比较大而已,所以,我们得让古希腊人多出场几位。接下来,我可以推荐两个与费马大定理有关的重量级人物。

一个是欧几里得,欧几里得最大的贡献体现在几何学,最牛的著作叫《几何原本》。不过,他也有很多数论成就,所以,在费马大定理的故事中,他的名字会反复出现,根号2是无理数是他第一个证的,有无穷多个素数是他第一个证的,算术基本定理也是他第一个证的。罗胖不是提到“比如说我们学平面几何都知道,由那么简单的几个公理,居然可以推出如此缤纷的一个定理的世界”,第一个系统性(这个系统太牛逼了)地干这个事情的人就是欧几里得。至于那么简单的公理到底是几个?这个是有数字的,23个定义,5条公理,5条公设,这是所有推导的基础。当然,《几何原本》也有一些不严谨的地方,却仍然笑傲江湖两千年,直到希尔伯特写出《几何基础》,才算彻底完善了欧几里得几何。不过,欧几里得还是给后人挖了一个坑,就是他的第五公设比较啰嗦,怎么看都不像一个公理而像一个定理。于是,无所牛人前赴后继去证明这个东西,却发现,所有宣称证明了第五公设的人,其证明都陷入了循环论证的陷阱中,换句话说,证来证去只是它自己不同的变形而已。这个第五公设真正的问题在哪里呢?很简单,欧几里得几何叫平面几何,这个第五公设只在平面几何中成立,而别的公理或公设却都是具有普遍适用性的。修改一下第五公设,别的公理不变,非欧几何就诞生了。事实上,非欧几何遇到的最大障碍不是数学家解决这个问题的水平不够,而是来自传统观念的压力。高斯早就研究过非欧几何,但迟迟不敢发表,因为担心遭受各种攻击。还有一个波尔约,研究非欧几何成就斐然,可惜被高斯一盆凉水浇灭了激情。再一个就是罗巴切夫斯基,名气最大的非欧几何创始人,生前遭受各种打击,仍不屈不挠传播罗氏几何,死后多年才被承认,被赞誉为“几何学中的哥白尼”。这三个人不约而同地研究了非欧几何中的双曲几何情形,却留下一种椭圆几何情形,让黎曼捡了个漏。不过,黎曼搞定这种情形可不是凭运气,他从思路上就领先其他人了,其他人都是从公理系统出发研究,黎曼手握微分几何之武器直接玩起了曲率,不仅补充了椭圆几何的情形,还一举统一了欧氏平面几何、罗氏双曲几何和他的椭圆几何。这种牛逼人的牛逼事儿讲起来还是蛮有意思的。

好啦,下一个古希腊人,丢番图。欧几里得写了本《几何原本》,成了几何学的一代宗师,丢番图写了本《算术》,也是数论中的经典之作,他本人也荣登“代数学之父”的宝座。他提出的丢番图方程让无数后人为之奋斗,至今仍有大量问题未能解决。《算术》是本好书,费马有空就抱着读,费马大定理就是读《算术》的心得。

按照时间顺序,下一个该费马出场了。费马这辈子活得可是够值了。官场得意、婚姻美满、家庭幸福、子女争气,更牛逼的是,一个业余爱好让他名垂青史。读读别的数学家的故事,贫困、疾病、家庭不幸,还是来自同行的打击,各种问题层出不穷,简直就是“天才多磨难”,而费马的小日子,滋润得让人嫉妒。而且,费马这人不像同行那么玩命死磕,不就一业余爱好嘛,玩票心态就好了。结果,很多灵感嗖嗖地冒出来,挡都挡不住。后来人们一总结,这家伙比很多职业数学家成就还大:解析几何的发明者之一,对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿和莱布尼茨,概率论的主要创始人之一,以及17世纪数论界第一人。不过,费马还是干了一件不厚道的事儿,就是在费马大定理的问题上,他宣称自己有了一个美妙的证法,就是不说,害得数学家们为之死磕了三百多年。

接下来,该欧拉上场了。欧拉是有史以来最多产的数学家,虽然眼睛不好使,但心算能力却是一流,简直是一台人体计算机。成就太多太多,就只好省略了。我们知道几件事就够了。欧拉无比牛逼,却仅仅证明了费马大定理n=3的情形,说明费马大定理真的很难。此外,罗胖提到哥德堡七桥问题,想说明西方人这种琢磨精神和中国人不同,其实,这个论据不充分,论点也不对,中国人也搞出了很多孤立的趣题和难题,这一点,东西方人是相似的。区别在哪儿呢?区别在于西方有欧拉这种数学家,他不是搞明白一个孤立问题就完事儿啦,而是由此出发,上升到理论高度,圆满地解决一类问题,更牛逼的是,一群数学家马上跟进,搞出更多东西,直到形成系统仍在推进,这就是我一直强调的数理系统的可怕之处。其实,这个哥德堡七桥问题本质上就是一笔画问题,中国人恰好也研究过,但中国人只是把它当成一种游戏,从来没想过要搞出一个数学分支。而到了西方人那里,“七桥问题”的研究是图论研究的开端,同时也为拓扑学的起源。顺便说下,“四色问题”和“七桥问题”是同类问题,属于图论,也可以看成拓扑学问题。别看“七桥问题”被欧拉轻松搞定,这个“四色问题”看似简单,却是一道难度绝不亚于费马大定理的难题。爱因斯坦的老师闵可夫斯基就曾经在学生面前夸下海口要证明之,结果失败只好放弃。最后,这个证明是依靠计算机完成的,虽然计算机的证明无法核对,这让很多数学家很不爽,但是,这提供了证明问题的新思路,也标志着计算机将在数学世界中发挥更大的作用,你能说,这种问题的研究没有意义吗?更何况,在证明的过程中,虽然多次失败,数学家们得到的东西可比问题本身多得多,这正是证明难题的意义,它会催生出很多宝贝,从而进一步完善数理体系。

下一个,该讲高斯了。高斯的贡献就不说了,这种神级人物,有多大贡献都是正常的,我讲讲他的两个毛病吧。第一个,就是研究问题时,只发表成熟而完善的证明,却不让别人捕捉到他的证明思路的蛛丝马迹。这非常不好,他的思路会给别人很多启发,反而是证明步骤,可利用价值低多了。另一个就是,高斯本人很牛逼,可是,却没干过什么提携后生的事情,反而不利于别人成长。也不是说他故意打击人家,就是别人觉得他牛逼,想请他指点一二时,他要么压根儿不理睬,要么冷冰冰的。前文提到的阿贝尔,其成果寄给高斯看,让高斯给扔了,伽罗华临死前写的东西也没忘给高斯寄一份儿,估计高斯也没看,波尔约(这次可是他朋友的儿子)研究非欧几何的成果,想得到他的支持,他说自己早就研究过了,波尔约于是心灰意冷。当然,高斯虽然有缺点,但他由于过于牛逼,世人赞扬崇拜唯恐不及,缺点也就没人计较了。

伽罗华肯定也是要谈的,但是,前面讲的伽罗华的故事太多了,这里不再赘述。就说一点,罗胖认为伽罗华是一个好色之徒,这是不公平的。一来,“有妞不泡,大逆不道”,他只是做了一个正常男人会做的事情;二来,他也没有到处沾花惹草;三来,这件事本身就可能是一个圈套,作为一个激进的共和派青年,政府早就想把他弄死。说到底,伽罗华是一个数学天才,但运气不好,他之所以政治上这么激进,也是数学方面处处碰壁郁闷无处发泄造成的。当然了,伽罗华的悲剧也有自身缺点,就是写东西太简洁,年轻人容易浮躁,天才更是年少轻狂,思想本来就已经非常超前了,又不表述清楚,那些前辈们怎么会认真看呢?

最后谈谈怀尔斯吧。前面提到的这些人都是大神,年轻时就很牛逼,然后牛逼了一辈子(虽然有的人一辈子也很短)。事实上,数学这个东西,最牛逼的思想往往是年轻人创立的,年长者只能为数学大厦添个砖加个瓦,却很少再有开山之举。一个数学家,如果到三十岁还没搞出什么成就,这辈子基本上就这样了。所以,数学界的最高奖菲尔兹奖只发给40岁以下的人,放宽到40岁,已经把各种意外都考虑进去了,可是,怀尔斯却是意外中的意外。他年轻时实在不够牛逼,三十多岁还在埋头苦干,到了四十岁却一举成名。我想,与其把怀尔斯的故事看成一个牛逼数学家的创奇,不如看成一个老屌丝逆袭的励志故事。都说数学家成名要趁早,比如他的同行陶哲轩同学,人家7岁进高中,9岁进大学,10岁、11岁、12岁参加国际数学奥林匹克竞赛分别拿下铜奖、银奖、金奖,20岁获得博士学位,24岁当教授,31岁时拿下菲尔兹奖。而31岁的怀尔斯在干嘛,默默无闻。混到33岁时,怀尔斯终于决定要干点什么了,命运也正好给了他一个机会。1985年,德国数学家格哈德·弗赖指出了谷山-志村猜想和费马大定理之间的关系,1986年,美国数学家里贝特证明了这一命题。怀尔斯意识到自己的机会来啦,费马大定理绕了一大圈,竟然和自己现在最擅长的领域椭圆曲线有关,必须赌一把了。于是,怀尔斯开始了长达七年的闭关修炼,当然了,修炼的时候还得偶尔放放风,因为之前不够牛,教授的位置不牢固,不发表论文会下岗的。修炼的过程前面讲过,就不说了,总之,博采众家之长,功力大大加深,七年之后出山,一举震动江湖。但是,数学家对待证明的态度是非常严谨的,数学证明一旦通过就永远正确,他们必须对后人负责,所以,怀尔斯的论文需要经过严格审查。六个顶级数学家开始对怀尔斯天书般的论文进行漫长的死磕,终于有一天,一个叫尼克·凯兹的发现了漏洞。说来也巧,当初怀尔斯论文发表前,想找个人内测一下,找的就是尼克·凯兹,那个时候,这哥们儿没发现问题,这都公开了,却揪出问题了,这让怀尔斯情何以堪:你丫是不是在逗我?事实上,这是个大问题,足以破坏怀尔斯的证明。至此,怀尔斯逆袭受挫,如果漏洞不能修复,不会有人为费马大定理的证明道路上多一个失败者而惋惜。好在这时怀尔斯已经混成了终身教授,不用担心下岗的风险了,宅在家里好好研究就行了。这次,他还找了一个助手,叫泰勒,这人是他之前的学生,一个牛逼而又值得信任的人,又经过将近一年的奋斗,终于填补了漏洞且简化了证明。怀尔斯一跃成为武林泰斗,这一次,地位无人撼动。接下来,我们要给怀尔斯几句颁奖词:他不一定是最聪明的,也不一定有着耀眼头衔,但一定以科学为生命,一定坚韧、谦和并一步一个脚印向前走。

在这里,我还要提一下两个人:谷山丰和志村五郎。志村五郎是一个勤奋的人,很多地方和怀尔斯气质很像,而谷山丰,是一个真正的天才。谷山-志村猜想是费马大定理证明过程中最重要的一环,可是,在怀尔斯享受各种荣誉的时候,却很少有人愿意提及他们(虽然谷山丰在30多年前就自杀了,但志村五郎还在)。数学的世界,有时候,也是只认成功者。讲这件事,也是提醒大家:在费马大定理的故事中,怀尔斯不是唯一的主角,无数人为之奋斗过,他们甘为基石,他们也是英雄。

费马大定理的故事,至此终于可以结束了。回顾人类解开宇宙奥秘的各个节点,探得进化论,主要靠达尔文;揭示力学原理,主要靠牛顿;艰深的相对论,可能有许多天才不懂,但创建它,也全凭一个爱因斯坦。发现元素周期律,创建精神分析理论,还有宇宙大爆炸、DNA分子结构模型……都只有一个两个人。唯独这个中学生都能看懂的费马大定理,各路英雄好汉,有的退避三舍,有的自愧无力,有的倾尽其力也只抓上一鳞半爪,连万能的计算机也无可奈何。但是,我们不仅仅要看到它的困难,更要看到困难背后的意义,费马大定理是一只“会下金蛋的鹅”(希尔伯特语):因为它,扩展了“无穷递降法”和虚数的应用;催生出库默尔的“理想数论”;促成了莫德尔猜想、谷山--志村猜想得证;拓展了群论的应用;加深了椭圆方程的研究;找到了微分几何在数论上的生长点;发现了伊利瓦金—弗莱切方法与伊娃沙娃理论的结合点;推动了数学的整体发展和研究……费马大定理催生出一批又一批重量级数学家,这是货真价实的事实,也是真正的厉害之处。“一个民族有一些关注天空的人,他们才有希望;一个民族只是关心脚下的事情,那是没有未来的。”

最后,和罗胖一样,我们也来聊一下兴趣,以及另外一个比兴趣更重要的东西。罗胖说得非常好“人类知识领域智力领域的任何丰碑,从来都不是用强烈的目的性建造出来的,它的每一块砖,每一块瓦,都是由兴趣堆积出来的,兴趣不仅导致了最后的成功,而且点亮了其中的每一块砖,每一块瓦,每一个人的生命。”我想说的是,兴趣是最好的老师,这是不错的。但是,在数学的世界里,仅仅有兴趣是不够的,君不见,无数民科也顷其一生研究数学,不可谓无兴趣,亦不可谓不努力,可是,搞出来的却是一堆毫无价值的东西,仅能自娱自乐罢啦。为何?他缺少的就是我前文一直强调的“数理系统”。中国人不是对纯数学完全没兴趣,也不是不努力,更不是不聪明,他缺的就是这样一种数理系统,全社会也缺乏这种数理系统成长的土壤。

罗胖一直说,做人要像U盘,不装系统,随时插拔,但是,有人做U盘,就得有人做电脑,要不,要U盘何用?而电脑,最本质最重要的就是操作系统。西方人就是凭借数理系统这种操作系统,完成了智力的联网和协作,最终缔造出丰富的科学世界。

我接下来说的可能是文科生和理科生的区别,很多文科知识,我们可以像U盘一样吸收,而理科知识体系的建立,却必须要求我们像电脑一样,拥有一套操作系统。文科生可能在很多东西上,讲得头头是道,出尽风头,但没有理科生,世界将无法运转。当然,我并没有对文科生有任何不敬,也没有对理科生进行任何吹捧。我不是最牛的理科生,更不敢自称文科很强,我只是文理兼修,我希望自己能够成为连接文科生和理科生的桥梁,而这,也是本文写作的目的……

后记:1、但愿罗胖能够看到本文;2、希望罗胖不计较文中多次对他不敬;3、期待罗胖把我收入麾下。


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(注:微信公众号:logic99,我的文章首发平台)
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管理员

发表于 2014-8-24 18:06 | 显示全部楼层
NB!沙发
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新手上路

发表于 2014-8-24 18:56 | 显示全部楼层
费马 我也花了两三天看了,LZ上述的内容基本和书上一致,多了代数数,超越数的解释,我觉得还是太缺少自己的东西,虽然罗视频上的关于数学的内容更少,但是做视频内容多少并不是最关键的。
我觉得LZ看费马大定理也是比较认真的,还有就是我觉得做文章做视频,重要的不是真正的内容,而是是否能激发阅读者的好奇心,去探索,去研究,去思考,个人愚见。
(最后损一句,因为我看完了这本书,所以LZ写的这些内容对我没什么吸引力,虽然我知道LZ不是写给我看的,(*^__^*) 嘻嘻)
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匿名  发表于 2014-8-25 09:06
小冰魂 发表于 2014-8-24 18:56
费马 我也花了两三天看了,LZ上述的内容基本和书上一致,多了代数数,超越数的解释,我觉得还是太缺少自己 ...

作为科普版,西蒙辛格的书无法超越,除非加大技术力度,但那样又会失去读者。

除内容外,我还想传递 一个中心(数理系统) 和 (由此推出的) 三个观点 :

1、深化了罗胖对东西方文化区别的比较。罗胖认为,这是实用主义和一个智力竞赛之间的区别 ,事实上,中国人也玩智力竞赛,西方人也有实用需求,所以,罗胖的观点太肤浅。我认为,这根本上取决于,有没有建立“数理系统”的观念和传统。数理系统使人类的智慧可以积累,当量变达到质变,科技因此爆发,而中国人虽然在单点突破上远胜西方人,但终究被西方人的系统远远甩在后面。

2、探索数学世界,仅仅有兴趣是不够的,无数“民科”就是例子,你需要建立一套数理系统(这个是前面那个观点的推论),这也是对罗胖观点的补充。

3、比较了文科生和理科生的区别,指出“操作系统”的重要性,质疑罗胖的“U盘化”生存方式“根基不稳,略显浮躁”。
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发表于 2014-8-25 11:52 | 显示全部楼层
我没有看懂,但被楼主死磕精神折服了!Orz
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匿名  发表于 2014-11-3 09:28
楼主一定也是个牛B的人物,佩服
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新手上路

发表于 2014-11-3 17:28 | 显示全部楼层
楼主对数学很执着,不错。
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匿名  发表于 2015-3-1 16:56
最后一段话才是真话呀,就像宋江求招安
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新手上路

发表于 2015-5-14 11:46 | 显示全部楼层
dizzy啊啊
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新手上路

发表于 2015-10-24 22:38 | 显示全部楼层
给个建议,罗胖爱吃,学个拿手好菜!
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